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Mathématiques et Réalité

Agenda du groupe "mathématiques et réalité"

Recherches sur le thème "mathématiques et réalité"

 

Recherches sur le thème "mathématiques et réalité"

Cette thématique de recherche s’est progressivement dégagée au cours de la période 2004-2007 à partir des réflexions d’un groupe de chercheurs de l’équipe qui travaillaient pour la plupart sur l’enseignement de la géométrie et des statistiques. Ces deux domaines mathématiques se sont historiquement constitués en forte interaction avec le monde réel et social. Et de plus, actuellement, une forte incitation institutionnelle nationale et internationale conduit à reconsidérer la question de l’appui sur le monde réel dans l’enseignement des mathématiques et ceci à la fois pour fonder cet enseignement auprès des élèves mais aussi pour leur assurer des débouchés. Ainsi l’évaluation PISA menée par l’OCDE définit la culture mathématique comme l’aptitude d’un individu à identifier et à comprendre le rôle joué par les mathématiques dans le monde, à porter des jugements fondés à leur propos, et à s’engager dans des activités mathématiques, en fonction des exigences de sa vie en tant que citoyen constructif, impliqué et réfléchi.

Tous ces éléments ont conduit à retenir comme thème fédérateur de recherches la question des relations entre les mathématiques enseignées et la réalité sous ses différentes formes. Pour progresser dans la définition exacte de cette thématique, des réunions régulières sont actuellement consacrées à la présentation de travaux et à des études bibliographiques. Cette organisation permet notamment l’intégration des doctorants travaillant sur des sujets reliés à cette thématique.

Les travaux du groupe sont centrés sur des domaines mathématiques différents mais les recherches sur la didactique de la géométrie constituent encore l’essentiel des activités des chercheurs du groupe et elles se développent suivant un certain nombre d’axes.

La mise au point et le développement d’un cadre théorique destiné à étudier l’enseignement de la géométrie à la fois dans la scolarité obligatoire et dans la formation des professeurs.

Ce thème de recherches s’appuie notamment sur les notions de paradigmes géométriques et d’espace de travail géométrique développées pour l’essentiel par Kuzniak et Houdement avec la contribution de Parzysz. En s’appuyant sur une étude épistémologique, il est possible de dégager divers paradigmes géométriques, au sens de Kuhn, qui permettent de clarifier la notion de géométrie élémentaire dans l’enseignement. Ces trois paradigmes sont : la géométrie naturelle (Géométrie I), la géométrie axiomatique naturelle (Géométrie II), la géométrie axiomatique formaliste (Géométrie III). Pour rendre compte de la pratique effective de la géométrie par les élèves et les professeurs, cette approche par les paradigmes est complétée par la notion d’espace de travail géométrique (ETG) qui permet d’observer la manière dont les processus cognitifs comme la perception, l’action ou le langage s’articulent autour des notions d’espaces, d’artefacts et de référentiel théorique. Pour analyser le fonctionnement cognitif, une grande partie des outils d’analyse sont largement empruntés aux travaux de R. Duval qui participe régulièrement aux réunions du groupe de travail.

Ce cadre a fait l’objet de nombreuses publications (Kuzniak, Houdement, Parzysz) dans différentes revues nationales et internationales mais aussi de présentations régulières dans des colloques (notamment CERME 2005 et 2007), conférences, séminaires et écoles d’été de didactique. Ce travail de diffusion a notamment permis à l’un de ses membres (Kuzniak) d’être sollicité d’abord comme président (chair) des groupes sur l’enseignement de la géométrie aux congrès européens sur l’enseignement des mathématiques (CERME) puis au congrès mondial ICME qui aura lieu en 2008.

Un certain nombre de travaux d’étudiants (doctorants et masters) prennent en partie appui sur ce cadre. Signalons notamment la thèse soutenue par F. Jore (2006) : « paradigmes géométriques et formation initiale des professeurs des écoles, en environnements papier-crayon et informatique ». De plus, deux mémoires de master ont contribué à étudier certains points spécifiques comme le rôle des artefacts dans la constitution des ETG personnels.

Enfin, deux thèses en cours reprennent ce cadre : celle de Caroline Bulf étudie l’enseignement de la symétrie au Collège en adjoignant au cadre précédent les apports dus à Vergnaud et celle d’Annette Michoux-Braconne s’intéresse à l’enseignement de la géométrie à l’articulation école-collège, du point de vue de l’articulation paradigmes/niveaux de Van Hiele.

Etudes comparatives sur l’enseignement de la géométrie dans différents pays ou institutions.

Ce point était déjà développé dans le contrat précédent par des travaux de doctorants : la thèse de Celi (2002) avait initié ce thème dans l'équipe avec une comparaison de l'enseignement de la géométrie dans l'école moyenne (de 12 à 16 ans) en France et en Italie. Au cours du dernier contrat, la thèse de Cabassut (2006) a été, elle, consacrée à la comparaison de l’enseignement de la démonstration, du raisonnement et de la validation au lycée, en Allemagne et France. Une recherche soutenue par ECOS-CONYCYT sur la comparaison de l’enseignement de la géométrie en France et au Chili s’est achevée en 2005 et a donné lieu à un ouvrage collectif (Castela et al, 2006). Outre cet ouvrage, deux thèses de doctorat commencées en 2005 sont menées sur le sujet par Pizarro et Montoya, deux étudiantes chiliennes. La première porte sur l’enseignement de la géométrie à la fin de l’enseignement de Basica (élèves de 7 et 8ème année) et la seconde aborde la formation des enseignants de mathématiques qui, au Chili, dure cinq ans et est assurée par l’université.

La thèse en co-tutelle (DIDIREM-ISFE de Tunis) en cours de Mrabet porte sur l'enseignement du Théorème de Thalès. Elle aborde la question de la transition entre la géométrie des configurations et la géométrie des vecteurs. Elle poursuit les travaux de la thèse présentée par Laguerre (2006) et menée au sein de l'équipe sur la question des rapports entre mathématiques et réalité à propos du théorème de Thalès (en particulier le rôle joué par les figures prototypiques.

Enfin, notons, qu’en association avec l’IUFM d’Orléans-Tours, une partie de l’équipe (Kuzniak, Pressiat et Vivier) travaille sur une comparaison curriculaire de différents pays (Grèce, Québec, Bade-Wuttemberg et Pologne).

D’autre part Cabassut est engagé dans un travail de développement européen (projet Comenius « LEMA ») sur la question de la modélisation dans l’enseignement.

Travaux sur l’enseignement de la géométrie à l’école élémentaire

Dans le cadre de l’enseignement élémentaire, la question de la géométrie enseignée apparaît plus liée encore à un premier ensemble de connaissances spatiales et de pratiques géométriques spontanées (Géométrie 0). Ce point a fait l’objet de conférences (Pressiat, Parzysz).

Par ailleurs, un groupe de travail fonctionne sur ce thème à l'IUFM Nord-Pas-de-Calais, sous la direction de Perrin-Glorian et avec la participation de Duval. Une première étape (2000-2004) a permis d'élaborer des hypothèses concernant l'enseignement et l'apprentissage de la géométrie aux cycles 2 et 3 et d'identifier des variables importantes pour que les élèves entrent dans une démarche géométrique à partir de problèmes de reproduction de figures. Cette première phase a donné lieu à plusieurs publications (dont Offre, Perrin-Glorian, & Verbaere, 2006 et Keskessa, Perrin-Glorian & Delplace, 2007). Le travail actuel du groupe, auquel ont été associés des maîtres formateurs, est davantage tourné vers la formation des enseignants, leur sensibilisation au développement d'une pensée géométrique, y compris dans le domaine numérique (via les grandeurs géométriques), et la recherche des conditions d'une intégration cohérente de situations innovantes dans une progression ordinaire de géométrie, qui permette aux enseignants de continuer à faire évoluer progressivement leurs pratiques. Le mémoire de master de C. Gaudeul aborde cette question à travers une étude de cas de PE2. Ce travail devrait se poursuivre en thèse dans la direction de l'étude du développement des savoirs professionnels des enseignants débutants en lien avec leurs savoirs mathématiques.

Travaux sur la formation des enseignants du premier et du second degré en géométrie.

Du fait de l’implication des chercheurs dans la formation des enseignants, ce thème fait l’objet de travaux spécifiques qui visent à chercher des conditions rendant possible l'évolution des pratiques des enseignants en exercice et la mise en place de pratiques plus riches chez les enseignants débutants. La question qui se pose par exemple en formation continue est de trouver comment agir sur une très courte période pour déclencher une remise en question assez profonde du rapport à la géométrie tout en donnant des moyens de rééquilibration.

Dans ce sens, prolongeant les travaux de Kuzniak et Houdement sur les stratégies de formation et les petites provocation didactique et en utilisant le cadre des trois paradigmes, des travaux ont permis de concevoir, de développer et d’analyser un certain nombre d’outils de formation (Kuzniak-Rauscher 2004, 2005 et Kuzniak 2007). Ces études ont notamment permis de pointer des différences de conceptions de la géométrie chez les formateurs et les élèves, différences susceptibles d’engendrer des malentendus.

Enfin, à côté des recherches sur l’enseignement de la géométrie, un certain nombre de recherches plus ponctuelles mais reliées au thème général des mathématiques et de la réalité ont été développées.

L’enseignement des probabilités et des statistiques

Ce point commence à émerger dans la recherche en didactique française, notamment sous l’impulsion de la Commisssion inter-IREM Probabilités et Statistique) alors qu’il fait l’objet d’importants développements à l’étranger. Par analogie avec la géométrie, la question de la coexistence de paradigmes probabilistes correspond à des rapports différents à l’espace est posée (Parzysz, 2003), et mérite sans doute d’être approfondie.

Un autre point important développé dans la thèse en cours de Carranza est celui de l’importance dans l’enseignement des statistiques de la dualité de la probabilité manifestée par les approches Bayésienne et fréquentiste (Carranza-Kuzniak 2006 et 2007)

L’enseignement des nombres et la question de la pensée fonctionnelle

La thèse en cours de Chambris étudie les rapports entre les grandeurs et le domaine numérique (numération, opérations) dans l'enseignement primaire, du point de vue de l'organisation des élèves, en les plaçant dans la perspective des évolutions de programme au cours du 20ème siècle (Chambris, 2007).

La thèse de N. Amra soutenue en janvier 2004 compare les approches très différentes de l'enseignement des fonctions en France et en Palestine. Quant à celle en cours de Stölting, thèse en co-tutelle avec la Bavière, elle prend appui sur l’idée de pensée fonctionnelle pour comparer et expliquer certaines différences de performances dans ce domaine entre élèves français et allemands.

Représentation gaphique et relativité restreinte

Travail sur la notion de graphique (signification, emploi, difficultés) à partir de son utilisation en relativité restreinte (special relativity)